> ## Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://prod-mint.classiq.io/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Workflow Scheduling Problem Open this notebook in GitHub to run it yourself Consider an optimization problem (based on the formulation in \[[1](#taskworkflow)]): there are $W(t)$ available workers or resources and $N$ jobs, where each job $j$ requires $T(j)$ time and takes $r(j)$ resources to be completed. Given a set of dependencies for each job and that you know which job depends on the completion of others before starting, determine the order of job completion that minimizes the total execution time. Assumptions: * A job may occupy only a single timeslot at most: $\forall j \,\,\, T(j) = 1$ * Given sufficient resources, jobs can start in the same timeslot * All resources are identical and the amount of available resources at a current time step is given by the number $W(t)$ * Jobs can only start if all parent jobs are complete Possible extensions: * Separate resources into multiple categories with jobs requiring different types * Jobs that take more than one operation ## Mathematical Modeling The input of the model is as follows: Define a binary variable for the optimization problem: an $t_{max}\times N$ matrix $x$ such that $$ \begin{aligned} x_{tj} = \begin{cases} 1 & \text{job } j \text{ is done on the } t_\text{th} \text{ time slot} \\ 0 & \text{else} \end{cases}\\ \end{aligned} $$ Constraints: * All jobs must complete exactly once: $\forall j\in[1,N] \,\,\, \sum_t x_{tj}=1$ * All jobs may use no more than the available resources: $\forall t\in[0,t_{max}] \,\,\, \sum_j x_{tj} r_j \leq W_t$ * Parent jobs must be complete before dependent jobs start: $x_{t_1j_1} x_{t_2j_2} = 0 \,\,\, \forall j_1, t_1\leq t_2, j_2 \text{ depends on } j_1$ The objective function to minimize is the total cost function: $$ \min_{x} \sum_{t} x_{tN}\cdot t $$ which favors schedules that are done early. ## Defining the Optimization Model ```python theme={null} from typing import List, Tuple, cast # noqa import matplotlib.pyplot as plt import networkx as nx import numpy as np # noqa import pandas as pd import pyomo.environ as pyo from IPython.display import Markdown, display ``` ```python theme={null} def define_workflow_problem( G, num_timeslots, available_capacities, work_loads ) -> pyo.ConcreteModel: model = pyo.ConcreteModel("task_scheduling") timeslots = range(num_timeslots) assert len(timeslots) == len(available_capacities) works = range(len(G.nodes)) assert len(works) == len(work_loads) last_works = [node for node in G.nodes if G.out_degree(node) == 0] assert len(last_works) == 1 last_work = last_works[0] # works with no dependancies root_works = [node for node in G.nodes if G.in_degree(node) == 0] model.x = pyo.Var(timeslots, works, domain=pyo.Binary) @model.Constraint(works) def all_works_are_done(model, i): # constraint (1) return sum(model.x[t, i] for t in timeslots) == 1 @model.Constraint(timeslots) def capacity_is_valid(model, t): # constraint(2) return ( sum(model.x[t, i] * work_loads[i] for i in works) <= available_capacities[t] ) @model.Constraint(works, works, timeslots, timeslots) def works_done_by_their_order(model, i, j, t1, t2): # constraint (3) if G.has_edge(i, j) and t1 >= t2: return model.x[t1, i] * model.x[t2, j] == 0 return pyo.Constraint.Feasible # eliminate all timeslots that are not possible for the task in order to save qubits distances_from_ends = nx.floyd_warshall_numpy(G) distances_from_roots = nx.floyd_warshall_numpy(G.reverse()) @model.Constraint(works, timeslots) def eliminating_rule(model, i, t): end_distance = int(np.min(distances_from_ends[i, last_works])) start_distance = int(np.min(distances_from_roots[i, root_works])) if (t < start_distance) or (t >= len(timeslots) - end_distance): return model.x[t, i] == 0 return pyo.Constraint.Feasible # minimize the end time of the last work model.cost = pyo.Objective( expr=sum(model.x[t, last_work] * (t + 1) for t in timeslots), sense=pyo.minimize ) return model ``` Visualization helper functions: ```python theme={null} import random def plot_graph(solution=None, ax=None): if solution is not None: # determine how many tasks start in each timeslot num_tasks = [sum(solution[t]) for t in range(num_timeslots)] max_tasks = max(num_tasks) pos = {} # find all the tasks that start in particular start time for start in np.nonzero(solution.sum(axis=1))[0]: locations = solution[start].nonzero()[0] pos.update( { n: (start, i + (max_tasks - num_tasks[start]) / 2) for i, n in enumerate(locations) } ) else: pos = { node: (order, random.random()) for order, node in enumerate((nx.topological_sort(G))) } options = { "font_size": 12, "node_size": 1000, "node_color": "white", "edgecolors": "black", "linewidths": 3, "width": 3, } # G = nx.DiGraph(edges) nx.draw_networkx(G, pos, ax=ax, **options) # Set margins for the axes so that nodes aren't clipped if ax is None: ax = plt.subplot() ax.margins(0.20) if solution is not None: ax.set_title("Suggested sequence") ax.set_xlabel("Timeslot") def plot_assignments(solution, ax=None): if ax is None: ax = plt.subplot() ax.pcolormesh(solution.T, edgecolors="w", linewidth=4, cmap="OrRd") ax.set_aspect(0.8) ax.set_xlabel("Timeslot") ax.set_ylabel("Task Number") ax.set_title("Task assignment") def plot_resource_graph(solution=None, ax=None): if ax is None: fig, ax = plt.subplots() x_pos = np.arange(len(capacities)) if solution is not None: ax.set_title("Utilization") num_resources = [np.dot(solution[t], workloads) for t in range(num_timeslots)] ax.bar(x_pos + 0.1, num_resources, label="used resources", color="r", width=0.5) ax.bar(x_pos, capacities, label="available_resources", color="g", width=0.5) ax.set_xticks(x_pos) ax.legend() ax.set_xlabel("Timeslot") ax.set_ylabel("Resources") def plot_workloads(ax=None): if ax is None: fig, ax = plt.subplots() ax.set_title("Work Loads") x_pos = np.arange(len(workloads)) ax.bar(x_pos, workloads, width=0.5) ax.set_xticks(x_pos) ax.set_xlabel("Jobs") ax.set_ylabel("Required Resources") def is_printable_solution(solution): return np.array_equal(solution.sum(axis=0), np.ones(solution.shape[1])) def plot_workflow(solution=None): if solution is None: fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 5)) plot_resource_graph(ax=axes[0]) plot_graph(ax=axes[1]) plot_workloads(ax=axes[2]) else: if is_printable_solution(solution): fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 10)) plot_resource_graph(solution, axes[0, 0]) plot_workloads(axes[0, 1]) plot_assignments(solution, axes[1, 1]) plot_graph(solution, axes[1, 0]) else: # illegal solution fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 5)) plot_resource_graph(solution, axes[0]) plot_workloads(axes[1]) plot_assignments(solution, axes[2]) ``` ## Initializing a Specific Problem Instance Create a workflow dependencies graph. For the small instance, all timeslot capacities and workloads are equal to each other: ```python theme={null} def small_example(): G = nx.DiGraph() nodes = range(4) edges = [(0, 1), (1, 3), (2, 3)] G.add_nodes_from(nodes) G.add_edges_from(edges) num_timeslots = len(G.nodes) - 1 capacities = 3 * np.ones(num_timeslots) workloads = np.ones(len(nodes)) return ( define_workflow_problem( G, num_timeslots, available_capacities=capacities, work_loads=workloads ), G, num_timeslots, capacities, workloads, ) def large_example(): G = nx.DiGraph() nodes = range(6) edges = [(0, 1), (0, 3), (0, 2), (2, 4), (3, 4), (1, 5), (4, 5)] workloads = [1, 3, 2, 2, 1, 1] capacities = [1, 3, 4, 3, 1] G.add_nodes_from(nodes) G.add_edges_from(edges) num_timeslots = len(capacities) return ( define_workflow_problem( G, num_timeslots, available_capacities=capacities, work_loads=workloads ), G, num_timeslots, capacities, workloads, ) ``` ```python theme={null} tasks_model, G, num_timeslots, capacities, workloads = small_example() plot_workflow() ``` output This is the resulting Pyomo model: ```python theme={null} tasks_model.pprint() ``` **Output:** ``` 1 Var Declarations x : Size=12, Index={0, 1, 2}*{0, 1, 2, 3} Key : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain (0, 0) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (0, 1) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (0, 2) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (0, 3) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (1, 0) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (1, 1) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (1, 2) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (1, 3) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (2, 0) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (2, 1) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (2, 2) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (2, 3) : 0 : None : 1 : False : True : Binary 1 Objective Declarations cost : Size=1, Index=None, Active=True Key : Active : Sense : Expression None : True : minimize : x[0,3] + 2*x[1,3] + 3*x[2,3] 4 Constraint Declarations all_works_are_done : Size=4, Index={0, 1, 2, 3}, Active=True Key : Lower : Body : Upper : Active 0 : 1.0 : x[0,0] + x[1,0] + x[2,0] : 1.0 : True 1 : 1.0 : x[0,1] + x[1,1] + x[2,1] : 1.0 : True 2 : 1.0 : x[0,2] + x[1,2] + x[2,2] : 1.0 : True 3 : 1.0 : x[0,3] + x[1,3] + x[2,3] : 1.0 : True capacity_is_valid : Size=3, Index={0, 1, 2}, Active=True Key : Lower : Body : Upper : Active 0 : -Inf : x[0,0] + x[0,1] + x[0,2] + x[0,3] : 3.0 : True 1 : -Inf : x[1,0] + x[1,1] + x[1,2] + x[1,3] : 3.0 : True 2 : -Inf : x[2,0] + x[2,1] + x[2,2] + x[2,3] : 3.0 : True eliminating_rule : Size=12, Index={0, 1, 2, 3}*{0, 1, 2}, Active=True Key : Lower : Body : Upper : Active (0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 1) : 0.0 : x[1,0] : 0.0 : True (0, 2) : 0.0 : x[2,0] : 0.0 : True (1, 0) : 0.0 : x[0,1] : 0.0 : True (1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 2) : 0.0 : x[2,1] : 0.0 : True (2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 2) : 0.0 : x[2,2] : 0.0 : True (3, 0) : 0.0 : x[0,3] : 0.0 : True (3, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True works_done_by_their_order : Size=144, Index={0, 1, 2, 3}*{0, 1, 2, 3}*{0, 1, 2}*{0, 1, 2}, Active=True Key : Lower : Body : Upper : Active (0, 0, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 0, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 0, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 0, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 0, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 0, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 0, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 0, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 0, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 1, 0, 0) : 0.0 : x[0,0]*x[0,1] : 0.0 : True (0, 1, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 1, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 1, 1, 0) : 0.0 : x[1,0]*x[0,1] : 0.0 : True (0, 1, 1, 1) : 0.0 : x[1,0]*x[1,1] : 0.0 : True (0, 1, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 1, 2, 0) : 0.0 : x[2,0]*x[0,1] : 0.0 : True (0, 1, 2, 1) : 0.0 : x[2,0]*x[1,1] : 0.0 : True (0, 1, 2, 2) : 0.0 : x[2,0]*x[2,1] : 0.0 : True (0, 2, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 2, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 2, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 2, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 2, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 2, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 2, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 2, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 2, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 3, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 3, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 3, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 3, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 3, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 3, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 3, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 3, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (0, 3, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 0, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 0, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 0, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 0, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 0, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 0, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 0, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 0, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 0, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 1, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 1, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 1, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 1, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 1, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 1, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 1, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 1, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 1, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 2, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 2, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 2, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 2, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 2, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 2, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 2, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 2, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 2, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 3, 0, 0) : 0.0 : x[0,1]*x[0,3] : 0.0 : True (1, 3, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 3, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 3, 1, 0) : 0.0 : x[1,1]*x[0,3] : 0.0 : True (1, 3, 1, 1) : 0.0 : x[1,1]*x[1,3] : 0.0 : True (1, 3, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (1, 3, 2, 0) : 0.0 : x[2,1]*x[0,3] : 0.0 : True (1, 3, 2, 1) : 0.0 : x[2,1]*x[1,3] : 0.0 : True (1, 3, 2, 2) : 0.0 : x[2,1]*x[2,3] : 0.0 : True (2, 0, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 0, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 0, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 0, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 0, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 0, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 0, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 0, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 0, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 1, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 1, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 1, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 1, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 1, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 1, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 1, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 1, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 1, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 2, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 2, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 2, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 2, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 2, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 2, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 2, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 2, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 2, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 3, 0, 0) : 0.0 : x[0,2]*x[0,3] : 0.0 : True (2, 3, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 3, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 3, 1, 0) : 0.0 : x[1,2]*x[0,3] : 0.0 : True (2, 3, 1, 1) : 0.0 : x[1,2]*x[1,3] : 0.0 : True (2, 3, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (2, 3, 2, 0) : 0.0 : x[2,2]*x[0,3] : 0.0 : True (2, 3, 2, 1) : 0.0 : x[2,2]*x[1,3] : 0.0 : True (2, 3, 2, 2) : 0.0 : x[2,2]*x[2,3] : 0.0 : True (3, 0, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 0, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 0, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 0, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 0, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 0, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 0, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 0, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 0, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 1, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 1, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 1, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 1, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 1, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 1, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 1, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 1, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 1, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 2, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 2, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 2, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 2, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 2, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 2, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 2, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 2, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 2, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 3, 0, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 3, 0, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 3, 0, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 3, 1, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 3, 1, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 3, 1, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 3, 2, 0) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 3, 2, 1) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (3, 3, 2, 2) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True 6 Declarations: x all_works_are_done capacity_is_valid works_done_by_their_order eliminating_rule cost ``` ## Optimization Model with Hybrid Classical/Quantum QAOA # ## Setting Up the Classiq Problem Instance To solve the Pyomo model defined above, use the Classiq combinatorial optimization engine. For the quantum part of the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) algorithm (`QAOAConfig`), define the number of repetitions (`num_layers`): ```python theme={null} from classiq import * from classiq.applications.combinatorial_optimization import OptimizerConfig, QAOAConfig qaoa_config = QAOAConfig(num_layers=8, penalty_energy=20) ``` For the classical optimization part of the QAOA algorithm, define the maximum number of classical iterations (`max_iteration`) and the $\alpha$-parameter (`alpha_cvar`) for running CVaR-QAOA, an improved variation of the QAOA algorithm \[[3](#cvar)]: ```python theme={null} optimizer_config = OptimizerConfig(max_iteration=20, alpha_cvar=0.3) ``` Load the model based on the problem and algorithm parameters, which you can use to solve the problem: ```python theme={null} qmod = construct_combinatorial_optimization_model( pyo_model=tasks_model, qaoa_config=qaoa_config, optimizer_config=optimizer_config, ) ``` # ## Synthesizing the QAOA Circuit and Solving the Problem Synthesize and view the QAOA circuit (ansatz) used to solve the optimization problem: ```python theme={null} qprog = synthesize(qmod) show(qprog) ``` **Output:** ``` Quantum program link: https://platform.classiq.io/circuit/39FfbEQz0qOc4MaJlwPJ5w3xgbp ``` **Output:** ``` https://platform.classiq.io/circuit/39FfbEQz0qOc4MaJlwPJ5w3xgbp?login=True&version=17 ``` Solve the problem by calling the `execute` function on the quantum program you generated: ```python theme={null} result = execute(qprog).result_value() ``` # ## Analyzing the Results Check the convergence of the run: ```python theme={null} result.convergence_graph ``` output Print the optimization results: ```python theme={null} import pandas as pd from classiq.applications.combinatorial_optimization import ( get_optimization_solution_from_pyo, ) solution = get_optimization_solution_from_pyo( tasks_model, vqe_result=result, penalty_energy=qaoa_config.penalty_energy ) optimization_result = pd.DataFrame.from_records(solution) optimization_result.sort_values(by="cost", ascending=True).head(5) ``` | | probability | cost | solution | count | | - | ----------- | ---- | ------------------------------------- | ----- | | 3 | 0.055176 | 3.0 | \[1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0] | 113 | | 6 | 0.048828 | 3.0 | \[0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0] | 100 | | 5 | 0.053223 | 3.0 | \[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0] | 109 | | 4 | 0.053223 | 3.0 | \[0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] | 109 | | 7 | 0.035645 | 23.0 | \[0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0] | 73 | ```python theme={null} idx = optimization_result.cost.idxmin() print( "x =", optimization_result.solution[idx], ", cost =", optimization_result.cost[idx] ) ``` **Output:** ``` x = [1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0] , cost = 3.0 ``` And the histogram: ```python theme={null} optimization_result.hist("cost", weights=optimization_result["probability"]) ``` **Output:** ``` array([[]], dtype=object) ``` output This is the best solution: ```python theme={null} qaoa_solution = np.array( optimization_result.solution[optimization_result.cost.idxmin()] ).reshape(num_timeslots, len(G.nodes)) plot_workflow(qaoa_solution) ``` output # ## Comparing to a Classical Optimizer Result ```python theme={null} from pyomo.opt import SolverFactory solver = SolverFactory("couenne") solver.solve(tasks_model) tasks_model.display() ``` **Output:** ``` Model task_scheduling Variables: x : Size=12, Index={0, 1, 2}*{0, 1, 2, 3} Key : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain (0, 0) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary (0, 1) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (0, 2) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary (0, 3) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (1, 0) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (1, 1) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary (1, 2) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (1, 3) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (2, 0) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (2, 1) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (2, 2) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (2, 3) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary Objectives: cost : Size=1, Index=None, Active=True Key : Active : Value None : True : 3.0 Constraints: all_works_are_done : Size=4 Key : Lower : Body : Upper 0 : 1.0 : 1.0 : 1.0 1 : 1.0 : 1.0 : 1.0 2 : 1.0 : 1.0 : 1.0 3 : 1.0 : 1.0 : 1.0 capacity_is_valid : Size=3 Key : Lower : Body : Upper 0 : None : 2.0 : 3.0 1 : None : 1.0 : 3.0 2 : None : 1.0 : 3.0 works_done_by_their_order : Size=144 Key : Lower : Body : Upper (0, 0, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 0, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 1, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 1, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 2, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 2, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 2, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 1, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (1, 1, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 1, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 1, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (1, 1, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 1, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 1, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (1, 1, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 1, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 2, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (1, 2, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 2, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 2, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (1, 2, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 2, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 2, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (1, 2, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 2, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 3, 0, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (1, 3, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 3, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 3, 1, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (1, 3, 1, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (1, 3, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 3, 2, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (1, 3, 2, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (1, 3, 2, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (2, 0, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (2, 0, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (2, 0, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (2, 0, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (2, 0, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (2, 0, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (2, 0, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (2, 0, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (2, 0, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (2, 1, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (2, 1, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (2, 1, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (2, 1, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (2, 1, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (2, 1, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (2, 1, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (2, 1, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (2, 1, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (2, 2, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (2, 2, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (2, 2, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (2, 2, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (2, 2, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (2, 2, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (2, 2, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (2, 2, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (2, 2, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (2, 3, 0, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (2, 3, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (2, 3, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (2, 3, 1, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (2, 3, 1, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (2, 3, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (2, 3, 2, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (2, 3, 2, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (2, 3, 2, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (3, 0, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 0, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 0, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (3, 0, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 0, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 0, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (3, 0, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 0, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 0, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (3, 1, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 1, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 1, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (3, 1, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 1, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 1, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (3, 1, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 1, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 1, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (3, 2, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 2, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 2, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (3, 2, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 2, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 2, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (3, 2, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 2, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 2, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (3, 3, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 3, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 3, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (3, 3, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 3, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 3, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (3, 3, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (3, 3, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 3, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 eliminating_rule : Size=12 Key : Lower : Body : Upper (0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (1, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (2, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (3, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (3, 1) : None : 0.0 : 0.0 (3, 2) : None : 0.0 : 0.0 ``` ```python theme={null} classical_solution = np.array( [ int(pyo.value(tasks_model.x[idx])) for idx in np.ndindex(num_timeslots, len(G.nodes)) ] ).reshape(num_timeslots, len(G.nodes)) plot_workflow(classical_solution) ``` output ## Large Example Consider a more elaborate example, involving work with non-uniform workloads and resources: ```python theme={null} tasks_model_large, G, num_timeslots, capacities, workloads = large_example() plot_workflow() ``` output ```python theme={null} tasks_model_large.pprint() ``` **Output:** ``` 1 Var Declarations x : Size=30, Index={0, 1, 2, 3, 4}*{0, 1, 2, 3, 4, 5} Key : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain (0, 0) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (0, 1) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (0, 2) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (0, 3) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (0, 4) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (0, 5) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (1, 0) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (1, 1) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (1, 2) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (1, 3) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (1, 4) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (1, 5) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (2, 0) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (2, 1) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (2, 2) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (2, 3) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (2, 4) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (2, 5) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (3, 0) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (3, 1) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (3, 2) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (3, 3) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (3, 4) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (3, 5) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (4, 0) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (4, 1) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (4, 2) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (4, 3) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (4, 4) : 0 : None : 1 : False : True : Binary (4, 5) : 0 : None : 1 : False : True : Binary 1 Objective Declarations cost : Size=1, Index=None, Active=True Key : Active : Sense : Expression None : True : minimize : x[0,5] + 2*x[1,5] + 3*x[2,5] + 4*x[3,5] + 5*x[4,5] 4 Constraint Declarations all_works_are_done : Size=6, Index={0, 1, 2, 3, 4, 5}, Active=True Key : Lower : Body : Upper : Active 0 : 1.0 : x[0,0] + x[1,0] + x[2,0] + x[3,0] + x[4,0] : 1.0 : True 1 : 1.0 : x[0,1] + x[1,1] + x[2,1] + x[3,1] + x[4,1] : 1.0 : True 2 : 1.0 : x[0,2] + x[1,2] + x[2,2] + x[3,2] + x[4,2] 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(5, 5, 4, 3) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True (5, 5, 4, 4) : -Inf : 0.0 : 0.0 : True 6 Declarations: x all_works_are_done capacity_is_valid works_done_by_their_order eliminating_rule cost ``` ```python theme={null} from classiq.applications.combinatorial_optimization import OptimizerConfig, QAOAConfig qaoa_config = QAOAConfig(num_layers=8, penalty_energy=20.0) optimizer_config = OptimizerConfig(max_iteration=1, alpha_cvar=0.6) qmod_large = construct_combinatorial_optimization_model( pyo_model=tasks_model_large, qaoa_config=qaoa_config, optimizer_config=optimizer_config, ) ``` ```python theme={null} qprog_large = synthesize(qmod_large) show(qprog_large) ``` **Output:** ``` Quantum program link: https://platform.classiq.io/circuit/39FfeKokUbzIq6HFfGFArUCVNsL ``` **Output:** ``` https://platform.classiq.io/circuit/39FfeKokUbzIq6HFfGFArUCVNsL?login=True&version=17 ``` ```python theme={null} result_large = execute(qprog_large).result_value() ``` As the search space here is much larger and involves many qubits, the optimizer takes much more time and might not converge to a legal solution. Print the optimization results: ```python theme={null} import pandas as pd from classiq.applications.combinatorial_optimization import ( get_optimization_solution_from_pyo, ) solution = get_optimization_solution_from_pyo( tasks_model_large, vqe_result=result_large, penalty_energy=qaoa_config.penalty_energy, ) optimization_result = pd.DataFrame.from_records(solution) optimization_result.sort_values(by="cost", ascending=True).head(5) ``` | | probability | cost | solution | count | | ---- | ----------- | ----- | -------------------------------------------------- | ----- | | 217 | 0.000488 | 60.0 | \[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ... | 1 | | 1009 | 0.000488 | 80.0 | \[1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, ... | 1 | | 265 | 0.000488 | 83.0 | \[1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, ... | 1 | | 934 | 0.000488 | 100.0 | \[1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, ... | 1 | | 1265 | 0.000488 | 104.0 | \[0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, ... | 1 | ```python theme={null} idx = optimization_result.cost.idxmin() print( "x =", optimization_result.solution[idx], ", cost =", optimization_result.cost[idx] ) ``` **Output:** ``` x = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0] , cost = 60.0 ``` And the histogram: ```python theme={null} optimization_result.hist("cost", weights=optimization_result["probability"]) ``` **Output:** ``` array([[]], dtype=object) ``` output This is the best solution: ```python theme={null} qaoa_solution_large = np.array( optimization_result.solution[optimization_result.cost.idxmin()] ).reshape(num_timeslots, len(G.nodes)) plot_workflow(qaoa_solution_large) ``` output # ## Classical Solution for the Large Problem ```python theme={null} from pyomo.opt import SolverFactory solver = SolverFactory("couenne") solver.solve(tasks_model_large) tasks_model_large.display() ``` **Output:** ``` Model task_scheduling Variables: x : Size=30, Index={0, 1, 2, 3, 4}*{0, 1, 2, 3, 4, 5} Key : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain (0, 0) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary (0, 1) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (0, 2) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (0, 3) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (0, 4) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (0, 5) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (1, 0) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (1, 1) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary (1, 2) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (1, 3) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (1, 4) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (1, 5) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (2, 0) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (2, 1) : 0 : -8.876268172259907e-17 : 1 : False : False : Binary (2, 2) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary (2, 3) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary (2, 4) : 0 : -1.000088900582341e-12 : 1 : False : False : Binary (2, 5) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (3, 0) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (3, 1) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (3, 2) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (3, 3) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (3, 4) : 0 : 1.000000000001 : 1 : False : False : Binary (3, 5) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (4, 0) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (4, 1) : 0 : 8.876268172259907e-17 : 1 : False : False : Binary (4, 2) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (4, 3) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (4, 4) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary (4, 5) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary Objectives: cost : Size=1, Index=None, Active=True Key : Active : Value None : True : 5.0 Constraints: all_works_are_done : Size=6 Key : Lower : Body : Upper 0 : 1.0 : 1.0 : 1.0 1 : 1.0 : 1.0 : 1.0 2 : 1.0 : 1.0 : 1.0 3 : 1.0 : 1.0 : 1.0 4 : 1.0 : 1.0 : 1.0 5 : 1.0 : 1.0 : 1.0 capacity_is_valid : Size=5 Key : Lower : Body : Upper 0 : None : 1.0 : 1.0 1 : None : 3.0 : 3.0 2 : None : 3.999999999999 : 4.0 3 : None : 1.000000000001 : 3.0 4 : None : 1.0000000000000002 : 1.0 works_done_by_their_order : Size=900 Key : Lower : Body : Upper (0, 0, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 0, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 0, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 1, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 1, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 2, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 2, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 3, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 3, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 3, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 3, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 3, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 4, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 4, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 4, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 4, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 0, 4, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 0, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 0, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 0, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 1, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 1, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 1, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 1, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 2, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 2, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 2, 2) : 0.0 : -0.0 : 0.0 (0, 1, 2, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 2, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 3, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 3, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 3, 2) : 0.0 : -0.0 : 0.0 (0, 1, 3, 3) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 3, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 1, 4, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 4, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 4, 2) : 0.0 : -0.0 : 0.0 (0, 1, 4, 3) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 1, 4, 4) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 0, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 0, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 0, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 1, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 1, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 1, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 1, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 2, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 2, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 2, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 2, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 2, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 3, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 3, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 3, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 3, 3) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 3, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 2, 4, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 4, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 4, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 4, 3) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 2, 4, 4) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 0, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 0, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 0, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 1, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 1, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 1, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 1, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 2, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 2, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 2, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 2, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 2, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 3, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 3, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 3, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 3, 3) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 3, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 3, 4, 0) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 4, 1) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 4, 2) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 4, 3) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 3, 4, 4) : 0.0 : 0.0 : 0.0 (0, 4, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 0, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 0, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 1, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 1, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 2, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 2, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 3, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 3, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 3, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 3, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 3, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 4, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 4, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 4, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 4, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 4, 4, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 0, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 0, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 1, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 1, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 1, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 1, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 1, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 2, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 2, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 2, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 2, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 2, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 3, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 3, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 3, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 3, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 3, 4) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 4, 0) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 4, 1) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 4, 2) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 4, 3) : None : 0.0 : 0.0 (0, 5, 4, 4) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 0, 0) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 0, 1) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 0, 2) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 0, 3) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 0, 4) : None : 0.0 : 0.0 (1, 0, 1, 0) : 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(2022). Solving workflow scheduling problems with QUBO modeling. arXiv preprint arXiv:2205.04844.](https://arxiv.org/pdf/2205.04844.pdf)